Make your own free website on Tripod.com
  English
1.6.A. Оценка разрешающей способности бел-аппроксимации.

Рассмотрим простейший случай двух параллельных отрезков, находящихся на расстоянии 2*x_0 друг от друга. Поперечное сечение рассматриваемой картины показано на рис.5a. На этом рисунке положение осевой линии аппроксимирующего отрезка определяется параметром x. В данном случае

   

где k - число точек в каждом отрезке.

Экстремумы такой меры определяются нулевыми значениями ее производной:

   

Знаменатель результирующего выражения положителен при любых значениях входящих переменных. Числитель можно преобразовать к виду

   

Это уравнение имеет пять решений, одно из которых x_1 = 0, и четыре других:

   

Два решения, которые определяются разностью выражений, стоящих под знаком внешнего квадратного корня, имеют мнимые значения при любых значениях входящих переменных (так как x_0 > 0, по начальному соглашению - см. рис.5a). Два других имеют действительные значения, когда

   

Упрощая это выражение, получим, что при D < sqrt3*x_0 исследуемая функция сходства имеет три экстремума: один центральный и два симметричных боковых. Нетрудно показать, что:

   

Очевидно, если D < sqrt(3)*x_0, то S"(x)|_0 > 0, т.е. центральный экстремум является локальным минимумом рассматриваемой функции сходства и, следовательно, соседние боковые - локальными максимумами этой функции (см. рис.5b). При D > sqrt(3)*x_0, эти максимумы сливаются в один (см. рис.5c). Положения максимумов в зависимости от значения параметра D показаны на рис.5d (см. формулу для вычисления x_2...x_5).

[..]