English

1.7.A. К вопросу автоматической коррекции ширины функции принадлежности.

Как утверждается, максимум функции сходства, определяемого выражением

   

достигается при конечной величине параметра D, когда показатель степени, в которую он возводится в числителе - g (регулирующий скорость роста амплитуды) лежит в интервале 1 < g < 2.

Докажем это утверждение.

Будем рассматривать аппроксимируемый отрезок (см. рис.6b) как непрерывное множество точек. В этом случае мера сходства определяется интегралом

   

Здесь переменная v = d введена для того, чтобы избежать путаницы с обозначением дифференциала. Поведение этой меры в зависимости от ширины функции принадлежности определяется производной по D:

   

   

   

Приравнивая это выражение нулю, и вводя переменную gamma = V/D, получаем:

   

В интересующем нас диапазоне (0 < gamma < oo) эта функция имеет максимальное значение 2 при gamma= 0 и асимптотически приближается к 1 при gamma -> oo (см. рис.6d).

Рис.6d

 Монотонность ее убывания подтверждается тем, что ее производная всюду отрицательна на интервале 0 < gamma < oo:

   

График, собственно интересующей нас, обратной функции D/V=1/gamma(g), представлен на рис.6c. Этот график показывает, какой будет ширина функции принадлежности (по сравнению с текущей относительной шириной аппроксимируемого отрезка) при достижении рассматриваемой мерой сходства своего максимального значения в зависимости от показателя g, регулирующего скорость роста амплитуды функции принадлежности.